Binäre Zahlen - Binäre Zahlen in der Informatik

Binäre Zahlen in der Informatik - Rechnen im Dualsystem / Binärsystem
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Binäre Zahlen

Einführung

Das duale Zahlensystem - auch Dualsystem oder  Binärsystem genannt - besteht aus 2 Zahlen, gekennzeichnet durch 0 und 1. Man benötigt dieses Zahlensystem in der Informatik, da sich mit technischen Bauteilen sehr leicht die Zustände AN und AUS erzeugen lassen können. Diese Zahlen können entsprechend unserem "normalen" Dezimalsystem verwendet werden. Man kann sie addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren. Da sie sich also kaum vom "normalen" Rechnen unterscheiden, eignen sie sich hervorragend, um in der EDV eingesetzt zu werden.

Zählen im Dezimalsystem

Wir beginnen bei 0 und zählen dann 1, 2, 3, usw. bis 9. Jetzt gehen uns die Zahlen aus! Um weiterzählen zu können, beginnt man nun mit einer 1 und fängt wieder bei 0 an. Das ergibt dann 1 und 0 also 10. Weiter geht es mit 11, 12, 13 bis 19. Die Zählerei klappt bis 99, ab jetzt nehmen wir noch eine Zahl dazu, also 100.

Zählen im Dualsystem

Auch hier beginnen wir mit 0 und zählen dann 1. Leider haben wir nur 2 Zahlen, also gehen uns hier die Zahlen schnell aus. Wir machen es jetzt aber genau wie im Dezimalsystem und nehmen eine Stelle dazu. Nach 0 und 1 kommen dann also 10 und 11. Wieder reichen die Stellen nicht! Also noch eine dazu: 100, 101, 110, 111, usw.

Zählen von 0 bis 15 im Dezimal- und Dualsystem

Dezimal Dual 
      0    0 
      1    1 
      2   10 
      3   11 
      4  100 
      5  101 
      6  110 
      7  111 
      8 1000 
      9 1001 
     10 1010 
     11 1011 
     12 1100 
     13 1101 
     14 1110 
     15 1111

Eine andere Schreibweise

Man kann Zahlen auch anhand ihrer Basis darstellen. Im Dezimalsystem haben wir 10 Zahlen zur Verfügung, von 0 bis 9. Mit 2 Stellen können wir also 10 * 10 = 100 Zahlen darstellen. 100 Zahlen? Aber 100 hat doch drei Stellen! Dieser Einwand stimmt. Da wir jedoch mit der Zahl 0 beginnen, ist 0 die 1. Zahl, 1 die 2. Zahl, ... 98 die 99. Zahl und 99 die 100. Zahl. Mit 3 Stellen können wir 10 * 10 * 10 = 1000 Zahlen darstellen. Jede Stelle entspricht einer 10-er Potenz. An einem einfachen Beispiel versuche ich diesen Sachverhalt zu erklären. Wir nehmen dazu die Zahl 372 und schreiben sie als kleine Rechnung auf: 372 = 3*100 + 7*10 + 2*1. Das kann man jetzt noch anders darstellen als: 3*102 + 7*101 + 2*100.

Auf diese Weise kann man jetzt alle anderen Zahlen auch darstellen:

6574 = 6*103 + 5*102 + 7*101 + 4*100
12032 = 1*104 + 2*103 + 0*102 + 3*101 + 2*100

Verwendung der Potenzschreibweise bei binären Zahlen

Wendet man die Potenzschreibweise bei binären Zahlen an, so muss man eine andere Basis wählen. Es gibt ja nur 2 verschiedene Ziffern, 0 und 1. Also nehmen wir als Basis 2. Die Zahl 1011 schreibt sich dann als 1*23 + 0*22 + 1*21 + 1*20

Die Umrechnung von binären in dezimale Zahlen

Die Potenzschreibweise kann man jetzt zur Umrechnung von binären in dezimale Zahlen benutzen. Wenn wir die kleine Rechnung jetzt ganz normal ausrechnen, bekommen wir den entsprechenden dezimalen Wert: 1011 = 1*23 + 0*22 + 1*21 + 1*20 = 1*8 + 0*4 + 1*2 + 1*1 = 11 Die duale Zahl 1011 entspricht also der dezimalen Zahl 11. (Vergleiche mit obenstehender Tabelle)

Die Umrechnung von dezimalen in binäre Zahlen

Bei der Umrechnung der Dezimalzahlen verwenden wir die "Division mit Rest" aus der Grundschule. Wir teilen die Zahl solange durch 2, bis als Ergebnis 0 herauskommt und merken uns dabei den Rest. Als Beispiel sollen die Zahlen 13 und 14 dienen.
13 / 2 = 6 Rest 1
6 / 2 = 3 Rest 0
3 / 2 = 1 Rest 1
1 / 2 = 0 Rest 1
Die Reste von unten nach oben aneinander gereiht ergeben dann die Dualzahl 1101.
14 / 2 = 7 Rest 0
7 / 2 = 3 Rest 1
3 / 2 = 1 Rest 1
1 / 2 = 0 Rest 1
Hieraus ergibt sich dann die Dualzahl 1110.

Was ist ein Bit?

Ein Bit ist die kleinste Speichereinheit in der EDV. In einem Bit kann eine Information gespeichert werden. Diese Information kann zwei Zustände haben, nämlich AN oder AUS, also 1 oder 0. Da man jedoch mit dieser Information relativ wenig anfangen kann, hat man Bits zu Bytes zusammengefasst.

Was ist ein Byte?

Ein Byte ist die Zusammenfassung von 8 Bits. Mit 1 Byte, also 8 Bits, kann man 256 verschiedene Zustände darstellen. Warum 256 verschiedene Zustände? Die kleinste Zahl, die mit 8 Bits dargestellt werden kann ist die dezimale 0, in Dualschreibweise 00000000. Die größte darstellbare Zahl ist die die dezimale 255, in Dualschreibweise 11111111. Wir überprüfen das anhand der Potenzschreibweise:

11111111
= 1*27 + 1*26 + 1*25 + 1*24 + 1*23 + 1*22 + 1*21 + 1*20
= 128 + 64 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1
= 255

Auch hier gilt wieder 1 bis 255 sind 255 Zahlen. Zuzüglich der 0 sind wir bei 256 verschiedenen Zahlen bzw. 256 verschiedenen Zuständen. Der Begriff Byte stammt ursprünglich daher, dass ein Prozessor in einem Rechenschritt maximal einen "Biss", also 8 Bit auf einmal aus dem Speicher auslesen konnte. Dieser Begriff ist mit denen neuen Prozessorarchitekturen eigentlich nicht mehr aktuell, hat sich jedoch fest eingebürgert.

Kilobyte, Megabyte, Gigabyte, Terabyte, Petabyte, Exabyte, Zettabyte, Yottabyte

Ein Kilobyte sind ca. tausend Byte. Genauer: 210 Byte = 1.024 Byte
Ein Megabyte sind ca. eine Millionen Byte. Genauer: 220 Byte = 1.048.576 Byte
Ein Gigabyte sind ca. eine Milliarde Byte. Genauer: 230 Byte = 1.073.741.824 Byte
Ein Terabyte sind ca. eine Billionen Byte, Genauer 240 Byte = 1.099.511.627.776 Byte
Ein Petabyte sind ca. eine Billiarde Byte. Genauer 250 Byte = 1.125.899.906.842.624 Byte
Ein Exabyte sind ca. eine Trillionen Byte. Genauer 260 Byte = 1.152.921.504.606.846.976 Byte
Ein Zettabyte sind ca. eine Trilliarde Byte. Genauer 270 Byte = 1.180.591.620.717.411.303.424 Byte
Ein Yottabyte sind ca. eine Quardillion Byte. Genauer 280 Byte = 1.208.925.819.614.629.174.706.176 Byte

 

Rechnen mit binären Zahlen: Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division

Auf den nachfolgenden Seiten sind die vier Grundrechenarten beschrieben: